全ての三角形は二等辺三角形?

「全ての三角形は二等辺三角形である」

こんなことを書くと、「そんな馬鹿な」と思われてしまうだろう。

勿論、全ての三角形が二等辺三角形だなんて馬鹿なことはある筈が無い。
しかし乍ら、世の中には「全ての三角形は二等辺三角形である」とする「証明」が存在するのである。

「証明」自体は大して難しくはない。
中学校程度の論証でできてしまう。

勿論この証明にはウソが含まれる訳であるが、あなたはこの「ウソ」を見破ることができるだろうか?

証明

点の設定 念のため言っておきますが、以下の「証明」は「ウソ」です。

△ABCは任意の三角形とする。
∠Aの二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点をOとし、点Oから辺BC, AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれP, Q, Rとする。 《図1》

△OAQ≡△OAR
△OAQ△OAR について、
 • OAは共通
 • ∠OAQ = ∠OAR (OAは∠Aの二等分線)
 • ∠OQA = ∠ORA = 90°
直角三角形の斜辺と1鋭角がそれぞれ等しいので、△OAQ△OAR 《図2》
 ∴ AQ = AR …①, OQ = OR …②

△OBP≡△OCP
△OBP△OCP について、
 OPは共通
BP = CP (Pは辺BCの中点)
∠OPB = ∠OPC = 90°
2辺とその夾角がそれぞれ等しいので、△OBP△OCP 《図3》
 ∴ OB = OC …③

△OQB≡△ORC
△OQB△ORC について、
OQ = OR (②より)
OB = OC (③より)
∠OQB = ∠ORC = 90°
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、△OQB△ORC 《図4》
 ∴ QB = RC …④


①と④より AB = AQ + QB = AR + RC = AC
∴ △ABC は AB = AC の二等辺三角形  ■

解説

解説を書いたが、できるだけ見ないで自分で考えてみて欲しい。
執筆: 2008年2月29日, 最終更新: 2014年3月8日
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