偶数と有理数の個数は同じ

この記事で言う「個数」とは、集合論で言う「濃度」を指します。

ご存知の通り、「偶数」とは2の倍数のことを指す。すなわち、次のような数である。 …, −14, −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, +2, +4, +6, +8, +10, +12, +14, … 一方、「奇数」とは2で割り切れない整数のことを指す。すなわち、次のような数である。 …, −15, −13, −11, −9, −7, −5, −3, −1, +1, +3, +5, +7, +9, +11, +13, +15, … 偶数と奇数の個数が同じであることは、然程直観に反しないだろう。

では、有理数はどうだろうか?
「有理数」とは、整数同士の分数で表せる数である。すなわち、次のような数である。
0, ±1, ±2, ±3, …; ±12, ±22, ±32, …; ±13, ±23, ±33, …; ±14, ±24, ±34, …; … 見ての通り、「有理数」は偶数や奇数はおろか、整数以外の様々な分数をも含んでいる。
すると一見偶数や奇数よりも有理数の方が圧倒的に多そうである。

だが、実際には「偶数と有理数の個数は同じ」なのである。
一体どういうことだろうか?

そもそもどうやって「個数」を比べるのか?

偶数も有理数も無限個存在するので、個数を数え上げて比較することはできない。
では、どうやって比較するのだろうか?

無限個の場合を考える前に、まずは有限個の場合の個数の比較方法を考える。
例として、下図の集合 AB とについて、どちらが要素の個数が多いかを比較する。[注1]
(見るからに B の方が多いのだが、あくまで例として割り切ってほしい)

集合Aと集合B

まず、集合 A の1つ1つの要素に対し、被らないように集合 B の要素を対応付ける。
すると、下図の矢印で示すように、集合 A の各要素について対応する B の要素を定めることができる。(対応付けはこの通りでなくても構わない)
このように被りの無い対応付けが可能なとき、A の個数 ≦ B の個数」であると言える。

集合Aから集合Bへの対応付け

一方、今度は集合 B の1つ1つの要素に対し、集合 A の要素を対応付けようとしてみる。
すると、どのように対応付けたとしても、下図の矢印で示すように集合 A の要素が必ず被ってしまう。
このように被りの無い対応付けが不可能なとき、B の個数 ≦ A の個数」ではないと言える。

集合Bから集合Aへの対応付け

以上より、A の個数 ≦ B の個数」であるが「B の個数 ≦ A の個数」ではないということがわかった。
これはすなわちA の個数 < B の個数」であるということである。

このように、被りの無い対応付けが可能であるか否かを考えることで、個数が無限個になった場合でも、2つの個数の大小を比べることができる。

「個数が同じ」とはどういうことか?

今度は、下図の集合 AC とについて、どちらが要素の個数が多いかを比較する。
上の例と同様に対応付けを考えると、次のようになる。

集合Aと集合Cとの対応付け

この例の場合、A から C へも、また C から A へも、いずれも被り無く要素を対応付けることができる。
このとき、下図のように A の各要素と C の各要素とを一対一に対応付けることができる。(ベルンシュタインの定理)

集合Aと集合Cとの対応付け

このような一対一の対応付けが可能な時、A の個数 = C の個数」であると言える。

偶数を“数えて”みる

冒頭の命題「偶数と有理数の個数は同じ」に戻る。

いきなり偶数と有理数の対応付けをしてもよいのだが、まずはより簡単な偶数と自然数との対応付けを考える。
ここで、「自然数」とは次のような数である。(本稿では 0 も自然数に含めるものとする)[注2]

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

自然数と他の集合 X との対応付けを行うには、まず X の要素を「最初の数」「次の数」「その次の数」… といった具合に一方向に並べなければならない。(下図)

自然数と集合Xとの対応付け

ここで、正の偶数と負の偶数とを次のように交互に並べてみる。

0, −2, +2, −4, +4, −6, +6, −8, +8, −10, +10, …

このようにすることで、全ての偶数を一方向に並べることができる。
すると、下図のように自然数と偶数との間に一対一の対応付けができる。

自然数と偶数との対応付け

これはすなわち、「偶数と自然数の個数は同じ」ということを意味する。

有理数を“数えて”みる

今度は有理数と自然数との対応付けを考える。
簡単のため、0 や負の数は一先ず置いておいて、まずは正の有理数のみを考える。

有理数を自然数と対応付けるためには、偶数のときと同様に、有理数を一方向に並べなければならない。
とは言え、有理数(分数)には分子と分母とがあり、一筋縄では並べられない。(下図)
では、どのようにすれば並べられるのだろうか?

正の有理数

答えは下図の矢印の通りである。
表を斜めに見ていけば、有理数を並べることができる。

正の有理数の並べ方

上図の矢印の通りに有理数を並べると次のようになる。(既約でない分数は除外)

1, 2, 12, 3, 13, 4, 32, 23, 14, 5, 15, 6, 52, 43, 34, 25, 16, 7, 53, 35, 17, 8, …

ここに 0 や負の数も加えると、次のようになる。

0, −1, +1, −2, +2, − 12, + 12, −3, +3, − 13, + 13, −4, +4, − 32, + 32, − 23, + 23, …

斯くして全ての有理数を一方向に並べることができた。
よって、下図のように自然数と有理数との間に一対一の対応付けができる。

自然数と有理数との対応付け

これはすなわち、「有理数と自然数の個数は同じ」ということを意味する。

結論

「偶数と自然数の個数は同じ」であり、かつ「有理数と自然数の個数は同じ」であるから、結局「偶数と有理数の個数は同じ」であると言える。

同じ理屈で、自然数・素数・偶数・奇数・整数・有理数等は全て同じ個数であると言うことができる。
この個数のことを「可算無限濃度」と呼び、0(アレフ・ゼロ)と表す。

因みに、無理数や実数の個数は偶数や有理数とは異なり、もっと多い。(カントールの定理)
無理数や実数の個数は「連続体濃度」と呼び、(アレフ)と表す。

^ 1. イラストはかわいいフリー素材集 いらすとや(みふねたかしさん)より。
^ 2. 集合論や計算機科学等においては自然数に 0 を含める方が普通である。本稿ではそれに従うが、自然数から 0 を除く定義を採用しても特に問題は無い。