0の0乗

以下は高校数学の内容です。一部「数学III」の範囲を含みます。

(以下、全て正の実数の範囲で考える。また、対数は自然対数とする。)

累乗(冪乗) とは、ある数を何回掛けたかを表すものである。
23 = 2 × 2 × 2 = 8 といった具合である。
また一般に、 a0 = 1 , a-n = 1/ an が成り立つ。 (a≠0, nは実数)

では、00は何だろうか。
数学教諭に聞いてみたところ、定義されないそうだ。

考え方1: 0xx0xを0に近づける

考え方1 グラフ 定義域 x > 0 において 0x は常に0なので、lim_[x→+0]0x = 0 である。

だが一方の x0 は常に1なので、lim_[x→+0]x0 = 1 である。

両方を考えると、0にも1にも定まらず不定である。

(別にx0や0xが連続である必要はないが、わざわざ不連続に定義する理由も無い)


考え方2: xxxを0に近づける

考え方2 グラフ 上では底と指数をバラバラに0に近づけたが、やはり同時に近づけなければ意味がない。
そこで、 xx (定義域 x > 0) のxを0に近づけてみると、
lim_[x→+0] x^x = lim_[x→+0] e^{log(x^x)} = lim_[x→+0] e^(x logx) = lim_[t→∞] e^{(1/t)log(1/t)} = lim_[t→∞] e^{-(logt/t)} = e^0 = 1
となり、1となる。ここから、便宜上 xx = 1 とすることもあるようだ。
しかし、底も指数も0に近づくのは、何もこの形だけではない。


考え方3: f(x)g(x)f(x), g(x) を0に近づける

lim_[x→∞] f(x) = lim_[x→∞] g(x) = 0 となる関数 f(x), g(x) を用意する。
このときの lim_[x→∞] f(x)g(x) の極限を考えてみる。

例えば、 f(x) = (1/2)x, g(x) = 1/x とすると、 f(x)g(x) = 1/2 となり、 lim_[x→∞] f(x)g(x) = 1/2 である。
また、ここで g(x) を -1/x にすると、逆数の2になる。
この調子でいくと、lim_[x→∞] f(x)g(x) は全ての正の数をとり得る。


因みに、Google電卓で「0の0乗」を計算すると、「0の 0乗 = 1」と表示される。
(「0^0」でも同じこと)


執筆: 2005年2月3日, 最終更新: 2008年3月9日

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