ピタゴラス数は無数にある

中学校の数学で習う定理に、「三平方の定理」或いは「ピタゴラスの定理」と呼ばれるものがある。
斜辺の長さが c, 他の2辺の長さが a, b であるような直角三角形に対し、 a2 + b2 = c2 が成り立つ、という有名な定理である。
この等式 a2 + b2 = c2 を満たす正の整数の組 (a, b, c) のことを、ピタゴラス数と呼ぶ。

例えば、(3, 4, 5)(5, 12, 13) などは有名なピタゴラス数である。
他にも (7, 24, 25)(8, 15, 17) などたくさんのピタゴラス数があるが、いざ自分で探そうとしてみるとなかなか見つからない。
しかし、だからと言ってピタゴラス数は僅かしか存在しないのかと言うと、そういう訳でもない。
実際、ピタゴラス数は無限個存在するのである。

※ 勿論、3つの数の比が等しいピタゴラス数(例えば (3, 4, 5) に対する (6, 8, 10)(9, 12, 15) など)は容易に見つけられる。
また、ab の順番を入れ替えただけのピタゴラス数(例えば (3, 4, 5) に対する (4, 3, 5) など)もそうである。
本稿では、そのようなものは全て同一のピタゴラス数であると見做し、それらのうちの最も簡単な形のもの(原始的ピタゴラス数)について考える。

ピタゴラス数が無限個存在する根拠

例えば正の整数 m を用いて (m2 − 1, 2m, m2 + 1) とすると、これは (m2 − 1)2 + (2m)2 = (m2 + 1)2 を満たすのでピタゴラス数である。
ここで m = 2, 3, 4, … とすれば次から次へと新しいピタゴラス数が得られるので、ピタゴラス数は無限個存在すると言える。

もっとちゃんと書くと、互いに素な正の偶数 m と正の奇数 n を用いて (|m2n2|, 2mn, m2 + n2) の形で表せるものは原始的ピタゴラス数(それ以上簡単にできない形のピタゴラス数)となる。
ここで mn を動かせば、全ての原始的ピタゴラス数を漏れも重複も無く得ることができる。

何故 (|m2n2|, 2mn, m2 + n2) でよいか

重複が無いこと(一意性)は明らかなので、ここでは漏れがないこと(網羅性)を示す。
すなわち、任意の原始的ピタゴラス数 (a, b, c)(|m2n2|, 2mn, m2 + n2) の形で表せることを示す。

この議論を進める上で、a は奇数であるとしても一般性を失わない。
何故ならば、もし ab も偶数だとすると c も偶数なので (a, b, c) が原始的ピタゴラス数ではなくなってしまうし、
もし a が偶数で b が奇数だとしたらその場合は ab を入れ替えてしまえばよいからである。

a が奇数であるとすると、b は偶数であると言える。
何故ならば、もし ab も奇数だとすると a2 + b2 (= c2) は4で割って2余る数となるが、そのような平方数は存在し得ないからである。
(偶数の平方数は必ず4の倍数となる)

まず、t = b/(a + c) とおく。すると、これと a2 + b2 = c2 より次式が得られる。 1 − t21 + t2 = ac ,  2t21 + t2 = bc また、t は有理数なので、互いに素な正の整数 m, n を用いて t = n/m と表せる。 これらより、次式が得られる。 a : b : c = (1 − t2) : 2t : (1 + t2) = (m2n2) : 2mn : (m2 + n2) ここで、(a, b, c) は原始的(すなわち a : b : c は既約)であるから、ある正の整数 k を用いて ka = m2n2,  kb = 2mn,  kc = m2 + n2 と表すことができる。

ここで、次式より k2m2, 2n2 の公約数であるが、m, n互いに素であるから k = 1 または k = 2 である。 k(a + c) = 2m2,  k(ca) = 2n2 加えて、以下に示す通り k は奇数でなければならない。 よって k = 1 である。

従って次式が成り立つ。これと a, b の奇偶より、mn の奇偶は異ならなければならない。 a = m2n2,  b = 2mn,  c = m2 + n2

以上より、 (a, b, c) = (m2n2, 2mn, m2 + n2)   (正の整数 mn互いに素で、一方が偶数で他方が奇数) である。mn のうち偶数の方を m, 奇数の方を n と改めておき直すと、 (a, b, c) = (|m2n2|, 2mn, m2 + n2)   (正の偶数 m と正の奇数 n互いに素 という上述の形が得られる。