ピタゴラス数は無数にある

中学校の数学で習う定理に、「三平方の定理」或いは「ピタゴラスの定理」と呼ばれるものがある。
斜辺の長さが c, 他の2辺の長さが a, b であるような直角三角形に対し、 a2 + b2 = c2 が成り立つ、という有名な定理である。
この等式 a2 + b2 = c2 を満たす正の整数の組 (a, b, c) のことを、ピタゴラス数と呼ぶ。

例えば、(3, 4, 5)(5, 12, 13) などは有名なピタゴラス数である。
他にも (7, 24, 25)(8, 15, 17) などたくさんのピタゴラス数があるが、いざ自分で探そうとしてみるとなかなか見つからない。
しかし、だからと言ってピタゴラス数は僅かしか存在しないのかと言うと、そういう訳でもない。
実際、ピタゴラス数は無限個存在するのである。

※ 勿論、3つの数の比が等しいピタゴラス数(例えば (3, 4, 5) に対する (6, 8, 10)(9, 12, 15) など)は容易に見つけられる。
また、ab の順番を入れ替えただけのピタゴラス数(例えば (3, 4, 5) に対する (4, 3, 5) など)もそうである。
本稿では、そのようなものは全部同一のピタゴラス数であると見做す。

ピタゴラス数が無限個存在する根拠

例えば正の整数 m を用いて (m2 − 1, 2m, m2 + 1) とすると、これは (m2 − 1)2 + (2m)2 = (m2 + 1)2 を満たすのでピタゴラス数である。
ここで m = 2, 3, 4, … とすれば次から次へと新しいピタゴラス数が得られるので、ピタゴラス数は無限個存在すると言える。

もっとちゃんと書くと、任意のピタゴラス数は、互いに素な偶数 m と奇数 n を用いて ( |m2n2|, 2mn, m2 + n2) の形で書くことができる。
mn を動かせば、全てのピタゴラス数を重複無く得ることができる。

何故 ( |m2n2|, 2mn, m2 + n2) でよいか

重複が無いことは簡単に示せるので、ここでは ( |m2n2|, 2mn, m2 + n2) の形で任意のピタゴラス数 (a, b, c) を漏れ無く表せることを示す。
ここで、(a, b, c)原始的ピタゴラス数(それ以上簡単にできない形のピタゴラス数)であるとしても一般性は失われない。

この議論を進める上で、a は奇数であるという仮定を置いても問題が無い。
何故ならば、もし ab も偶数だとすると c も偶数なので (a, b, c) が原始的ピタゴラス数ではなくなってしまうし、
もし a が偶数で b が奇数だとしたらその場合は ab を入れ替えてしまえばよいからである。

単位円周上の点のパラメタ表示 まず、A = a/c, B = b/c とおき、座標平面上の点 (A, B) と点 (−1, 0) を直線で結ぶ。〔右図青線
この直線の傾きを t とすると、 t = B / (1 + A) , A2 + B2 = 1 が成り立つ。これらを A, B について解くと、 A = (1 - t^2) / (1 + t^2) , B = 2t / (1 + t^2) となる。ここで、t は有理数なので、互いに素な整数 m, n を用いて t = n/m と表せる。 これを用いると、 a : b : c = A : B : 1 = (1 − t2) : 2t : (1 + t2) = (m2n2) : 2mn : (m2 + n2) が成り立つ。更に、(a, b, c) は原始的(すなわち a : b : c は既約)であるから、整数 k を用いて ka = m2n2,  kb = 2mn,  kc = m2 + n2 と表すことができる。

もし mn が共に奇数だとすると、 ka = m2n2 = (m + n)(mn) = (偶数) × (偶数) = (4の倍数) である。a が奇数であることに注意すると、k が4の倍数だとわかる。すると mn = kb / 2 = (4の倍数) / 2 = (偶数) となるが、すると (奇数) × (奇数) = (偶数) となってしまい矛盾である。従って mn の一方は偶数でなければならない。
ところが m, n互いに素であったから、どちらか一方は奇数でなければならない。
従って、m, n は一方が偶数で他方が奇数であると言える。

もし k > 1 だとすると、k は何らかの素因数 p を持つ。ここで、 ka = m2n2 = (m + n)(mn) = (奇数) × (奇数) = (奇数) であるから、p も奇数である。従って、 2m2 = ka + kc = p の倍数) + p の倍数) = p の倍数)
2n2 = kcka = p の倍数)p の倍数) = p の倍数)
となり、mnp の倍数だと言える。
これは mn互いに素であることに矛盾するので、k = 1 でなければならない。

以上より、 (a, b, c) = (m2n2, 2mn, m2 + n2)   mn互いに素で一方が偶数で他方が奇数) である。mn のうち偶数の方を m, 奇数の方を n と改めておき直すと、 (a, b, c) = ( |m2n2|, 2mn, m2 + n2)   (偶数 m と奇数 n互いに素 という上述の形が得られる。

※ 本稿では流れのわかり易さを優先したため、一部数学的厳密性を犠牲にしている。
気になる人は適宜補って読んで頂きたい。

執筆: 2008年3月24日, 最終更新: 2013年2月27日(中学数学の範囲で書き直し)
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