100の階乗

高1の時に数学で出された問題

100! の十進数で表したとき、'0' を除いた最も下の桁の数字は何か?
について、「どうせだから 100! を求めてしまおう!」と思って JavaScript でプログラムを書いてみました。 実行する

ソースコード

/* 宣言 */
var LENGTH = 13;                  // 十分に大きい定数
var MAX_ELEM = 10000000000000;    // 各 a[i] の最大値(100を掛けても情報落ちしない程度の桁数)
var a = new Array(LENGTH);

/* 初期化 */
a[0] = 1;
for (i = 1; i < LENGTH; i++) a[i] = 0;

/* n = 1, 2, ..., 100 を順に掛けて表示 */
for (n = 1; n <= 100; n++){
    var carry = 0;                              // 繰り上がり

    for (i = 0; i < LENGTH; i++){
        a[i] = a[i] * n + carry;                // n を掛けて繰り上がりを加える
        carry = Math.floor(a[i] / MAX_ELEM);    // 次の桁への繰り上がり
        a[i] = a[i] % MAX_ELEM;
    }

    /* 表示 */
    for (i = LENGTH - 1; a[i] == 0; i--);  // a[i] == 0 なる上位の桁は無視
    var result = a[i--].toFixed(0);        // toFixed(0) で確実に整数表示にする
    for (; i >= 0; i--) result += (a[i] + MAX_ELEM).toFixed(0).substring(1);
    document.write(n + "! = " + result + "<br>\n");
}

プログラムの説明

基本的には、1×2×…×100 と、順々に掛けていけば 100! は求まります。
素朴な乗算による 100! の計算

しかし、JavaScript では整数は 9,007,199,254,740,992 (= 253) までしか正しく扱うことができません。
それを超えると、精度が落ちてしまいます。
(これは Javascript で用いられている「倍精度浮動小数点数」という数の表現方法による制約です)

そこで、数値を下の位から13桁毎に a0, a1, a2, … と区切って保持することで、この問題を解決しています(ある種の多倍長整数)。
多倍長整数による表現

掛け算をする際は、まず掛ける数 n (= 1, 2, 3, …, 100) を全ての ai それぞれに掛け、それから繰り上がりを処理して13桁毎の区切りを直しています。
区切りを13桁毎にしているのは、このような計算をしても各 ai が 9,007,199,254,740,992 を超えないようにするためです。
多倍長整数を用いた 100! の計算

因みに、プログラミング言語・処理系によっては、何も考えずとも勝手に多倍長整数(無限精度)で計算してくれるものもあります(Scheme など)。

ところで

冒頭の問題ですが、態々プログラムを組んで 100! の値を求めなくても、普通に計算すれば答えはわかります。

100! を素因数分解すると

100! = 297 × 348 × 524 × 716 × 119 × 137 × 175 × 195 × 234 × 293 × 313 × 372 × 412 × 432 × 472 × 53 × 59 × 61 × 67 × 71 × 73 × 79 × 83 × 89 × 97
となることから、100! は 10 (= 2×5) の24乗では割り切れるが25乗では割り切れないことがわかります。
よって、100! / 1024 の1の位を求めればよいと言えます。
ab の1の位の数字が等しいことを「ab」と表すことにすると
100! / 1024
= 273 × 348 × 716 × 119 × 137 × 175 × 195 × 234 × 293 × 313 × 372 × 412 × 432 × 472 × 53 × 59 × 61 × 67 × 71 × 73 × 79 × 83 × 89 × 97
≡ 273 × 348 × 716 × 19 × 37 × 75 × 95 × 34 × 93 × 13 × 72 × 12 × 32 × 72 × 3 × 9 × 1 × 7 × 1 × 3 × 9 × 3 × 9 × 7 (10の位は無視して構わない)
= 273 × 364 × 727 × 911 × 116
≡ 2 × 1 × 3 × 9 × 1 (2の冪の1の位は 2→4→8→6→2→… と循環する. 3, 7, 9 も同様に循環を利用して求まる)
= 54
となるので、結局求めるべき数字は 4 です。

公開: 2006年1月2日, 加筆・修正: 2011年12月23日
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