直線 AO に関して点 C と対称な点を C′ とすると、これは辺 AB 上にある。《図6》
ここで、
• OB = OC
• OC = OC′
であるから OB = OC′ である。
これは全ての三角形は二等辺三角形？に対する解説です。
以下、AB > AC とする（AB < AC の場合も同様である）。
「証明」における論理のウソは、至って単純なものである。
三角形の合同条件の適用の辺りが如何にもウソ臭そうであるが、そうではない。
そもそもの状況設定が誤りなのだ。
きれいに図を書くと、右上の図5のようになる。
「証明」では点 R が △ABC の内側にあるかのように扱っていたが、これは実際には △ABC の外側にある。
そのため AC = AR + RC ではなく AC = AR − RC であるので、「証明」は誤り。
ただこれだけのことなのであるが、一度考え込んでしまうとなかなか抜け出せない。
直線 AO と辺 BC との交点を S とすると、角の二等分線の性質より BS : CS = AB : AC である。
よって BS > CS であり、点 B, P, S, C はこの順に並ぶ。
そのためには、点 O は △ABC の外側になければならない。《図5》
直線 AO に関して点 C と対称な点を C′ とすると、これは辺 AB 上にある。《図6》
ここで、
• OB = OC
• OC = OC′
であるから OB = OC′ である。
よって △OBC′ は OB = OC′ の二等辺三角形である。
従って、点 Q はその頂角 O から底辺 BC′ に下ろした垂線の足であるから、線分 BC′ の中点となる。 《図7》
ここで、直線 AO に関して点 Q と対称な点が点 R である。
従って、《図8》の通り点 R は △ABC の外側にある。 ■