「1 = 0.99999……」について

循環小数の分数表示について、等比級数の考え方を用いてもう少し厳密にやってみる。

例1) 0.123123123…… を分数に直す

 0.123123123……
 = 123×10-3 + 123×10-6 + 123×10-9 + ……
 = limn→∞ (123×10-3 + 123×10-6 + 123×10-9 + …… + 123×10-3n)
 = limn→∞ (123×10-3)×(1 - 10-3n) / (1 - 10-3)
   (∵ 初項123×10-3, 公比10-3 の等比数列の和)
 = (123×10-3) / (1 - 10-3)
 = 0.123 / 0.999
 = 41/333


例2) 0.99999…… を分数に直す

 0.99999……
 = 9×10-1 + 9×10-2 + 9×10-3 + ……
 = limn→∞ (9×10-1 + 9×10-2 + 9×10-3 + …… + 9×10-n)
 = limn→∞ (9×10-1)×(1 - 10-n) / (1 - 10-1)
   (∵ 初項9×10-1, 公比10-1 の等比数列の和)
 = (9×10-1) / (1 - 10-1)
 = 0.9 / 0.9
 = 1


執筆: 2008年3月8日

「1 = 0.99999……」に戻る
鵺帝国トップに戻る